Oskar Simony
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Oskar Simony Pamphlet Translation 3 July 2024
ö ä ü
Gemeinfasslich, leicht controlirbare
Lösung der Aufgabe
In ein ringförmig geschlossenes Band einen Knoten zu machen"
und verwandter merkwürdiger Probleme.
Von
Dr. Oskar Simony,
Professor an der k. K. Hochshule für Bodencultur, Privatdocent an der Wiener Universität
Alle Rechte vorbehalten
WIEN
Gerold & Comp.
1880.
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Ich erlaube mir zunächst die einfachste Erledigung der gestellen Aufgabe vorzuführen:
Man biege die beiden Enden eines Papierstreifens gegen einander, drehe das rechtseitige um 3 x 180° gegen sich oder im entgegengesetzten Sinne und klebe es hierauf dem anderen Ende des Striefens zusammen. Führt man durch das so gebildete, ringförmig geschlossene Band parallel zu dressen Rändern einen in sich selbst zurücklaufenden Schnitt, so entsteht unter gelichzeiiger Zunahme der Gesammtverdrehung von 3 x 180° auf 8 x 180° weider ein ringförmig geschlossenes Band, in welchem sich ein längs des Bandes verschiebbarer Knoten befindet. Derselbe ist jenem Knoten gleich, welchen man auf gewöhnlichem Wege erhält, indem man die rechtseitige Hälfte des ungeschlossen Papierstriens einml um die linkseitige schlingt und dann ihr Ende durch die Schlinge hindurchzieht.
Das problem ist aber ausserdem noch auf unendlich viele andere Arten lösbar, und zwar gilt allgemein der folgende Satz:
Drecht man ds rechtseige Ende eines Papierstreifens vor seiner Vereinigung mit dem anderen Ende um (2k + 1) x 180°, wobei k jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 u. s. w. vorstellen kann, und führt hierauf parallel den Rändern des ringförmig geschlossenen Banndes einen in sich selbst zurücklaufenden Schnitt, so
3 Handelt es sich um eine rasche Demonstration des beschriebenen Experimentes, so ist es rathsamer, die beiden Enden des Striefens nur mit zwei Nadeln derart aufeinander zu heften, dass man zwischen den Nadeln noch bequem hindurchshneiden kann.
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entsteht unter gleichzeitiger Erhöhung der Gesammtverdrehung von (2k + 1) x 180° auf 4(k + 1) x 180° wieder ein ringförmig geschlossenen Bannde, in welchem sich ein längs desselben verschiebbarer Knotmn befindet den man auf gewöhnlichen Wege nur erhalten kann, wenn man die rechtseitige Hälfte des ungeschlossenen Papierstreifens k-mal um die linkseitige windet und ihr Ende schliesslich durch die anfänglich gebildete Schlinge hindurchzieht.
Drecht man jedoch das rechtseige Ende des Papierstreifens vor seiner Vereinigung mit dem anderen Ende um 2 x 180° oder um 4 x 180°, 6 x 180°… 2k x 180°, so zerfällt das auf diese Art hergestellte, ringförmig geschlossene Band durch Ausführung des früher beschriebenen Schnittes stets in zwei nur durch Zerreissen von einander trennbare, ringförmig geschlossene Bänder, von welchen das zweite auf dem ersten einmal, beziehungsweise 2, 3, ….k-mal auf aufgehangen erscheint, während die Gesammtverdrehung jedes der beiden Baänder mit der jeweiligen des ursprünglichen Bandes übereinstimmt.
Im Anschlusse hieran sei es mir noch gestattet, für die nachstehenden interessanten Aufgaben die einfachsten Lösungen anzugeben:
I. Es sei eine geschlossene Fläche zu construiren, welche nach Ausführunge eines in sich selbst zurücklaufenden Schnittes und eines Querschnittes durch die ganze Breite der Fläche ein einziges,
ringförmig geschlossene Band liefert - Man verertige aus Paper eine ebene Fläch von der Gestalt der beigegbenen schematischen Figur, biege die Enden (1) und (3) gegen einander, verdrehe 180° in ddemselben odr im ent gegengesetzen Sinne im Vergliech zu jener von (1) gegen (3) vorimmt.
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drehe (1) um 180° und klebe es dann mit (3) zusammen. Ebenso verfahre man mit den Enden (2) und (4), wobei es gleichgiltig ist, ob man die Verdrehung von (2) gegen (4) um 180° in demselben oder im entgegensetzen Sinne im Vergleich zu jener von (1) gegen (3) vornimnt. Nachdem dies geschehen ist, führe man parallel den Rändern der Fläche, wir es die Pfeile in der Figur andeuten, von (1) über (2), (4), (3) eien in sich selbst zurücklaufenden Schnitt und mache in dem so erhaltenen neunen Gebilde schliesslich den Querschnitt: ab
A general, easily controllable solution to the problem of "tying a knot in a ring-shaped band" and related strange problems.
By Dr. Oskar Simony,
Professor at the Imperial and Royal College of Soil Science, private lecturer at the University of
Vienna
All rights reserved
VIENNA
Gerold & Comp.
1880.
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I will first demonstrate the simplest way to complete the task:
Bend the two ends of a strip of paper against each other, turn the right-hand side 3 x 180° against itself or in the opposite direction and then glue it to the other end of the strip. If you make a cut through the ring-shaped band thus formed, parallel to the edges, and run back into itself, you will create another ring-shaped band with a knot in it that can be moved along the band, while simultaneously turning it from 3 x 180° to 8 x 180°. This knot is the same as the knot that you make in the usual way by wrapping the right-hand half of the unfinished paper strip around the left-hand half and then pulling its end through the loop.
However, the problem can also be solved in an infinite number of other ways, and the following theorem generally applies:
If one turns the right-hand end of a paper strip before joining it with the other end by (2k + 1) x 180°, where k can represent any of the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., and then makes a cut parallel to the edges of the ring-shaped closed strip that runs back into itself, then
(Footnote) 3 If it is a question of a quick demonstration of the experiment described, it is advisable to attach the two ends of the strip together with only two needles in such a way that one can still easily cut through between the needles.
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with a simultaneous increase in the total twist from (2k + 1) x 180° to 4(k + 1) x 180°, a ring-shaped closed strip is again created, in which there is a knot that can be moved along it, which can only be obtained in the usual way if the right-hand half of the unclosed paper strip is wound k times around the left-hand half and its end is finally pulled through the loop formed at the beginning.
However, if the right-hand end of the paper strip is twisted by 2 x 180° or by 4 x 180°, 6 x 180°… 2k x 180° before joining it with the other end, the ring-shaped band produced in this way always breaks up into two ring-shaped bands that can only be separated by tearing them apart, and the second of these bands appears to be suspended on the first one, or 2, 3,…k- times, while the total twist of each of the two bands corresponds to that of the original band.
Following this, I would like to give the simplest solutions for the following interesting tasks:
I. A closed surface is to be constructed which, after making a cut that runs back into itself and a cross-section through the entire width of the surface, produces a single, ring-shaped closed band. Make a flat surface out of paper in the shape of the attached schematic figure, bend the ends (1) and (3) towards each other, twist
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rotate (1) by 180° and then glue it to (3). Proceed in the same way with the ends (2) and (4), whereby it is irrelevant whether the rotation of (2) against (4) by 180° is carried out in the same or opposite direction compared to that of (1) against (3). After this has been done, make a cut parallel to the edges of the surface, as indicated by the arrows in the figure, from (1) over (2), (4), (3) and finally make the cross-section in the new structure thus obtained: