Oskar Simony

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Oskar Simony Pamphlet Translation 3 July 2024

ö ä ü

Gemeinfasslich, leicht controlirbare

Lösung der Aufgabe

In ein ringförmig geschlossenes Band einen Knoten zu machen"

und verwandter merkwürdiger Probleme.

Von

Dr. Oskar Simony,

Professor an der k. K. Hochshule für Bodencultur, Privatdocent an der Wiener Universität

Alle Rechte vorbehalten

WIEN

Gerold & Comp.

1880.

Page 4

Ich erlaube mir zunächst die einfachste Erledigung der gestellen Aufgabe vorzuführen:

Man biege die beiden Enden eines Papierstreifens gegen einander, drehe das rechtseitige um 3 x 180° gegen sich oder im entgegengesetzten Sinne und klebe es hierauf dem anderen Ende des Striefens zusammen. Führt man durch das so gebildete, ringförmig geschlossene Band parallel zu dressen Rändern einen in sich selbst zurücklaufenden Schnitt, so entsteht unter gelichzeiiger Zunahme der Gesammtverdrehung von 3 x 180° auf 8 x 180° weider ein ringförmig geschlossenes Band, in welchem sich ein längs des Bandes verschiebbarer Knoten befindet. Derselbe ist jenem Knoten gleich, welchen man auf gewöhnlichem Wege erhält, indem man die rechtseitige Hälfte des ungeschlossen Papierstriens einml um die linkseitige schlingt und dann ihr Ende durch die Schlinge hindurchzieht.

Das problem ist aber ausserdem noch auf unendlich viele andere Arten lösbar, und zwar gilt allgemein der folgende Satz:

Drecht man ds rechtseige Ende eines Papierstreifens vor seiner Vereinigung mit dem anderen Ende um (2k + 1) x 180°, wobei k jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 u. s. w. vorstellen kann, und führt hierauf parallel den Rändern des ringförmig geschlossenen Banndes einen in sich selbst zurücklaufenden Schnitt, so

3 Handelt es sich um eine rasche Demonstration des beschriebenen Experimentes, so ist es rathsamer, die beiden Enden des Striefens nur mit zwei Nadeln derart aufeinander zu heften, dass man zwischen den Nadeln noch bequem hindurchshneiden kann.

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entsteht unter gleichzeitiger Erhöhung der Gesammtverdrehung von (2k + 1) x 180° auf 4(k + 1) x 180° wieder ein ringförmig geschlossenen Bannde, in welchem sich ein längs desselben verschiebbarer Knotmn befindet den man auf gewöhnlichen Wege nur erhalten kann, wenn man die rechtseitige Hälfte des ungeschlossenen Papierstreifens k-mal um die linkseitige windet und ihr Ende schliesslich durch die anfänglich gebildete Schlinge hindurchzieht.

Drecht man jedoch das rechtseige Ende des Papierstreifens vor seiner Vereinigung mit dem anderen Ende um 2 x 180° oder um 4 x 180°, 6 x 180°… 2k x 180°, so zerfällt das auf diese Art hergestellte, ringförmig geschlossene Band durch Ausführung des früher beschriebenen Schnittes stets in zwei nur durch Zerreissen von einander trennbare, ringförmig geschlossene Bänder, von welchen das zweite auf dem ersten einmal, beziehungsweise 2, 3, ….k-mal auf aufgehangen erscheint, während die Gesammtverdrehung jedes der beiden Baänder mit der jeweiligen des ursprünglichen Bandes übereinstimmt.

Im Anschlusse hieran sei es mir noch gestattet, für die nachstehenden interessanten Aufgaben die einfachsten Lösungen anzugeben:

I. Es sei eine geschlossene Fläche zu construiren, welche nach Ausführunge eines in sich selbst zurücklaufenden Schnittes und eines Querschnittes durch die ganze Breite der Fläche ein einziges,

ringförmig geschlossene Band liefert - Man verertige aus Paper eine ebene Fläch von der Gestalt der beigegbenen schematischen Figur, biege die Enden (1) und (3) gegen einander, verdrehe 180° in ddemselben odr im ent gegengesetzen Sinne im Vergliech zu jener von (1) gegen (3) vorimmt.

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drehe (1) um 180° und klebe es dann mit (3) zusammen. Ebenso verfahre man mit den Enden (2) und (4), wobei es gleichgiltig ist, ob man die Verdrehung von (2) gegen (4) um 180° in demselben oder im entgegensetzen Sinne im Vergleich zu jener von (1) gegen (3) vornimnt. Nachdem dies geschehen ist, führe man parallel den Rändern der Fläche, wir es die Pfeile in der Figur andeuten, von (1) über (2), (4), (3) eien in sich selbst zurücklaufenden Schnitt und mache in dem so erhaltenen neunen Gebilde schliesslich den Querschnitt: ab

A general, easily controllable solution to the problem of "tying a knot in a ring-shaped band" and related strange problems.

By Dr. Oskar Simony,

Professor at the Imperial and Royal College of Soil Science, private lecturer at the University of

Vienna

All rights reserved

VIENNA

Gerold & Comp.

1880.

Page 4

I will first demonstrate the simplest way to complete the task:

Bend the two ends of a strip of paper against each other, turn the right-hand side 3 x 180° against itself or in the opposite direction and then glue it to the other end of the strip. If you make a cut through the ring-shaped band thus formed, parallel to the edges, and run back into itself, you will create another ring-shaped band with a knot in it that can be moved along the band, while simultaneously turning it from 3 x 180° to 8 x 180°. This knot is the same as the knot that you make in the usual way by wrapping the right-hand half of the unfinished paper strip around the left-hand half and then pulling its end through the loop.

However, the problem can also be solved in an infinite number of other ways, and the following theorem generally applies:

If one turns the right-hand end of a paper strip before joining it with the other end by (2k + 1) x 180°, where k can represent any of the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., and then makes a cut parallel to the edges of the ring-shaped closed strip that runs back into itself, then

(Footnote) 3 If it is a question of a quick demonstration of the experiment described, it is advisable to attach the two ends of the strip together with only two needles in such a way that one can still easily cut through between the needles.

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with a simultaneous increase in the total twist from (2k + 1) x 180° to 4(k + 1) x 180°, a ring-shaped closed strip is again created, in which there is a knot that can be moved along it, which can only be obtained in the usual way if the right-hand half of the unclosed paper strip is wound k times around the left-hand half and its end is finally pulled through the loop formed at the beginning.

However, if the right-hand end of the paper strip is twisted by 2 x 180° or by 4 x 180°, 6 x 180°… 2k x 180° before joining it with the other end, the ring-shaped band produced in this way always breaks up into two ring-shaped bands that can only be separated by tearing them apart, and the second of these bands appears to be suspended on the first one, or 2, 3,…k- times, while the total twist of each of the two bands corresponds to that of the original band.

Following this, I would like to give the simplest solutions for the following interesting tasks:

I. A closed surface is to be constructed which, after making a cut that runs back into itself and a cross-section through the entire width of the surface, produces a single, ring-shaped closed band. Make a flat surface out of paper in the shape of the attached schematic figure, bend the ends (1) and (3) towards each other, twist

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rotate (1) by 180° and then glue it to (3). Proceed in the same way with the ends (2) and (4), whereby it is irrelevant whether the rotation of (2) against (4) by 180° is carried out in the same or opposite direction compared to that of (1) against (3). After this has been done, make a cut parallel to the edges of the surface, as indicated by the arrows in the figure, from (1) over (2), (4), (3) and finally make the cross-section in the new structure thus obtained:

Translation of Oscar Simony's In ein ringförmig geschlossenes Band einen Knoten zu machen", und verwandter merkwürdiger Probleme'. ("To make a knot in a ring-shaped band", and related strange problems)

Third, expanded edition (56 pp., with 42 woodcuts and 4 lithographic plates). Vienna: Verlag Gerold & Comp. 1881.

The text, save for the (untitled) introduction is excised from the earlier Dingeldey translation

18-19 July 2024

Last Printed 18 July 2024

THIS COPY SHOWS A PAGE-FOR-PAGE RECREATION OF SIMONY AND NOT DINGELDEY'S PRESENTATION, WHICH DIFFERS

THIS IS PROBABLY THE BEST

Contents

Introduction

1. Oscar Simony's English translation, pages 1-10, 53-54

2. Oscar Simony's German original, pages 1-10, 53-54

Introduction

Note that the translation is based on the third edition of Oscar Simony's In ein ringförmig…, an important distinction. The preceding editions were considerably briefer; the first edition was just seven pages, whilst the second edition was 27 pages, whereas the third had 56 pages. The first and third editions are essentially unrecognisable, in effect different publications, hence the need for a further translation.

Upon obtaining the first edition, it was a practical proposition to translate by hand (i.e. typing the text and using Google Translate), which I did. However, the third edition is a different proposition altogether. The first edition took longer than expected (spread over days to relieve the tedium of typing), and the thought of doing the same with 56 pages is daunting. However, it is not, thankfully, strictly necessary. Subsequently, I have found that the text and diagrams (more or less) repeat in Friedrich Dingeldey's Topologische studien über die aus ringförmig geschlossenen bändern durch gewisse schnitte erzeugbaren gebilde, 1890. (This was included in the book with Simony's permission.) So with the book being available on the Internet Archive, with editable text (whilst Simony's is not), a full translation is a practical proposition (typing out a lengthy German text by hand of many pages, not so!). However, not all the diagrams are repeated, and in particular, the 'Möbius Cross' diagrams are not! Having set out to translate all (or more exactly pages thought of interest) of Dingeldey's book, it is a simple matter to make a copy and show the translation of Simony's book without the 'distraction' of Dingeldey's own text, which I do here. Of course, this is not to disparage Dingeldey. But here, I simply want to concentrate on Simony's writings.

A footnote (page 19) by Dingeldey gives the background to the repeated text:

1) As already mentioned in the preface, the investigations contained in this second section of this brochure are the reproduction of a presentation already given by Mr. Simony.

Although the text is essentially the same, it is not an exact facsimile. There are subtle differences in presentation in many ways:

This is not a page-for-page facsimile, resulting in different page lengths and numbers.

In Simony's original text certain words are emphasised (in black), whereas in the Dingeldey they are not.

The figure numbers are slightly askew, differing by one. What is Fig. 1 in Simony is Figure 2 in Dingeldey, Figure 2 is Figure 3, and so on.

Simony's footnote presentation is different.

Simony italicises mathematical terms such 2 x 180°, whilst Dingeldey does not.

What to do? After consideration, I have decided to repeat Simony's presentation as closely as I can, in particular 'page-for-page', as this after all is his text, of which I have borrowed from Dingeldey for convenience. To retain the essence of the book, I have tried as much as possible to retain the given presentation of the day, along with the formatting. The reasoning for going to such extensive lengths is documented in the first edition translation, of which I refer the reader.

Dingeldey's repeat is partial, (perhaps just the second edition?) Whatever, up to and including p.32 equals Simony's page 19. Then Dingeldey stops.This thus misses Simony's Mobius cross and 'six strip'.

Generally understandable, easily controllable

Solution to the task:

"To make a knot in a ring-shaped band"

and related strange problems.

By

Dr. Oscar Simony,

Associate Professor at the Imperial and Royal College of Soil Culture, private lecturer at the University of Vienna.

Third expanded edition

(With 42 woodcuts and four lithographed plates.)

All rights reserved.

VIENNA.

Published by Gerold & Comp.

1881.

[Untitled Introduction]

Two years ago, detailed analytical and geometrical studies on the various dimensional relationships that a tripled size1) is capable of, led me to the knowledge of various surprising facts that can easily be verified experimentally by any educated person, while my theoretical investigations in this regard are likely to be of interest only to mathematicians who are themselves active as researchers in the same or related fields.

I therefore initially contented myself with publishing those simple geometrical experiments that, such as the production of a knot in a ring-shaped closed band, deserve a more general interest. Now that the first and second large editions of my brochure have sold out within a year, I consider it appropriate to include in the present edition some elementary theoretical considerations which offer the possibility of analytically investigating the conditions of knot formation in a ring-shaped closed band and a ring under the assumption of a quadrupled extended manifold. Since the hypothesis of "four-dimensional space" and the spiritual knot experiments2) associated with it are currently being discussed very lively again, many readers may find it desirable

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to form an independent opinion on the mathematical questions mentioned on a scientific basis. With this in mind, I have also included a larger number of citations3) in the present work than is otherwise usual in a popular work of small size.

Section 1

In order to be able to clearly describe the geometric experiments to be reported here1), it is sufficient to introduce the auxiliary terms: "Positive or negative rotation by 1 x 180°, 2 x 180°, 3 x 180°, etc.", which can be explained in a generally understandable way without difficulty.

The best way to do this is to use a rectangular strip of paper, in the corners of which the numbers 1, 2, 3, 4

[Fig. 2, a paper ring]

can be written on its upper and lower surfaces, for example according to the pattern in schematic figure 1, with each corner being provided with the same number on both sides. If one then bends the two ends of the strip towards each other in the manner illustrated in schematic figure 2 and twists its right-hand end until the corners (1) and (4), (2) and (3) come to lie next to each other for the first time, one has a rotation

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carried out by 1 x 180° I call it positive (+) if it is carried out in the direction of the arrow (p), negative (-) if it is carried out in the opposite direction. By doubling, tripling, etc. the rotation just described, a rotation of the right-hand end by 2 x 180°, 3 x 180°, etc. can be produced analogously; it will be described as positive or negative, depending on whether it is the result of a doubling, tripling, etc. of a positive or a negative rotation by 1 x 180°.

The union of both ends of the strip4) naturally always produces a ring-shaped, knot-free strip, the total torsion (T) of which corresponds to that of the right-hand end of the unclosed strip. Conversely, if it is a question of proving a certain total torsion in a ring-shaped, knot-free strip, then one should transform it into a strip with two free ends by means of a cross-section that runs through its entire width and twist its end in a positive direction if T is negative, and in a negative direction if T is positive, by the multiple of 180° that was specified for T. If the relevant information was correct, then after completing this operation all the torsions must have disappeared from the strip. It is just as easy to check the total torsion of a ring-shaped, closed strip if it has a knot of the habitus shown in schematic figures 14, 15, 28, 29, 32, 33. If one cuts the strip crosswise directly next to the loops of the knot and pulls the part of the strip that carries the loops out of the latter without twisting, then one has the strip presented without changing its

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Total torsion is transformed into a knotless strip with two free ends, the total twist of which can be controlled in the manner described above.

With that in mind, we want to briefly characterise those surfaces that arise from a ring-shaped, knotless strip by making a longitudinal cut that runs back into itself in its centre line with an original total twist (T) = ± 1 x 180°, ± 2 x 180°, ± 3 x 180°, etc., and to make it easier to generalize the individual results obtained, we use the following schematic representation:

I. T = ± 1 x 180°: A single ring-shaped, closed strip is created, the total twist of which is in the same direction as that of the original strip and is 4 x 180° in absolute value. — In order to understand this result graphically, we start from the fact that the boundaries of the given strip form a single closed curve as a result of the union of the corners (1) and (4), (2) and (3), the course of which can be illustrated schematically for T = + 1 x 180° by Figure 3, and for T = + 1 x 180° by Figure 5. Since the longitudinal section made in the centre line of the strip cannot of course meet its edges anywhere and returns to itself after a single circuit, we obtain in both cases a single ring-shaped closed strip, the boundaries of which are formed by the edge curve of the original strip and the cutting line. Before the cut is made, each of the two halves of the strip has a torsion of 180°, but

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whose original edge curve, after completion of the cut, opens up in the first case according to the pattern in Figure 4, in the second according to that in Figure 6, and this makes it possible to eliminate the crossing that now exists between the two halves of the strip, two further torsions of 180° each in the same direction are added to the two torsions mentioned

[Figs. 3–6]

as a result of the latter process, so that the absolute amount of the total twist in the newly created strip increases to 4 x 180° in both cases.

The elementary explanation of the first and second experiments given here is also linked to a theoretical conclusion which is of particular importance for the assessment of the respective total twist of a closed strip with a knot. Since Figures 4 and 6 differ only in the crossings7 that occur between their halves, a crossing of two parts of one and the same

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closed strip according to our last remarks is the characteristic equivalent for a torsion of + 2 x 180° or - 2 x 180°, depending on whether it is in the same direction as the crossing in Figure 4, which can be described as positive, or the negative crossing in Figure 6. Conversely, a torsion of + 2 x 180° can also occur as a positive crossing, and one of - 2 x 180° as a negative crossing of two strip parts, which theorem can be checked particularly clearly by flattening a ring-shaped closed strip twisted by + 2 x 180° or - 2 x 180°.

II. T = ± 2 x 180°: Two ring-shaped closed strips are obtained in such a connection that each of them can be suspended once on an untwisted part of the other strip (Fig. 8, 9). The suspension can be carried out both

[Figs. 7–8]

for T = + 2 x 180° and for T = - 2 x 180° either in the sense of the schematic figure 7 or in the opposite sense (Fig. 9); in view of the further experiments, it seems advisable to assign the first suspension in particular to the rotation by + 2 x 180°, whereas the one in the sense of figure 8 to the rotation by - 2 x 180°. Each of the two strips shows the same total rotation as the original strip and can

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from the other only after a cross-section traversing its entire width. - In order to understand this result graphically, we start from the fact that the boundaries of the given strip are formed by two closed curves as a result of the union of the corners (1) and (3), (2) and (4), the course of which can be illustrated schematically for T = + 2 x 180° by Figure 9, and for T = - 2 x 180° by Figure 11.

[Figs. 9-12]

The centre line of the strip therefore always divides it into two halves, the outer edges (m) and (n) of which do not have a single common point, so that the longitudinal section returning to itself in this centre line must in both cases produce two closed strips, the total twists of which correspond to those of the halves of the original strip, i.e. in the first case each + 2 x 180°, in the second each - 2 x 180°. Furthermore, since the limit curves (m) and (n), as soon as they are formed as a result of the completion of the mentioned cut

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no longer belong to a single strip, can obviously always assume the positions characterised by Figures 11 and 13, the halves of the original strip belonging to these boundary curves can also be brought into the same positions, which explains the one-off suspension of one strip on the other.

III. T = ± 3 x 180°: A single ring-shaped closed strip is created with a knot9) that can be moved along it, which can be constructed in the usual way by winding the right-hand half of an unclosed strip once around the left-hand half and pulling its right-hand end through the loop initially formed (Fig. 13, 14). This is where the knot is formed

[Figs. 13–14]

especially for T = + 3 x 180° in the sense of the schematic figure 13, but for T = - 3 x 180° in that of figure 14, without a transformation of the first node into the second or vice versa being possible. — To explain this interesting result graphically, one should rely on the fact that the boundaries of the given strip form a single closed curve here, just as for T = ± 1 x 180°, the course of which can be schematically represented by figure 15 for T = + 3 x 180° and by figure 17 for T = - 3 x 180°10). It is therefore created by carrying out the

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in the centre line of the strip, a longitudinal section that returns to itself for the same reasons as in the case of a ring-shaped closed band that has been twisted once, in both cases a single ring-shaped closed strip.

[Figs. 15–19]

Furthermore, since the edge curve of the original strip opens up after the cut has been completed, in the first case according to the pattern in Figure 16, in the second according to that in Figure 18, the two halves of the strip now intertwine in an apparent conformity with its original edge curve, so that the direction in which the knot formation takes place is already determined by the course of this edge curve. Finally, if the newly created strip is pressed flat for T = + 3 x 180° according to the example in Figure 19, and for T = - 3 x 180° according to that in Figure 20, in the first case, in addition to six positive torsions of 180° each, two positive and one negative crossings appear, in the second case, in addition to six negative torsions of 180° each, two negative and one positive crossings, i.e. the total twist is

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of the newly created strip due to the previously determined equivalence of the crossings with torsions of ± 2 x 180° in the first case: (6 + 4 - 2) x 180° = - 8 x 180°, which data can also be directly checked according to the instructions given on page 3.

IV. T = + 4 x 180°: Two ring-shaped closed strips are obtained in such a connection that each of them can be suspended twice on an untwisted part of the other strip (Fig. 21, 22). The suspensions are carried out specifically

[Figs. 21–22]

for T = + 4 x 180° in the sense of the schematic figure 21, but for T = - 4 x 180° in that of figure 22, without a transformation of the first suspension method into the second or vice versa being possible. Each of the two strips shows the same total twist as the original strip and can only be separated from the other after a whose entire

Ended in an incomplete state, for reasons of time, judged disprotanioate as to any potential 'gains'.

Title Page

Gemeinfassliche, leicht controlirbare

Lösung der Aufgabe:

"In ein ringförmig geschlossenes Band

einen Knoten zu machen"

und verwandter merkwürdiger Probleme.

Von

Dr. Oscar Simony,

a. ö. Professor an der k. k. Hochshule für Bodencultur, Privatdocent an der Wiener

Universität.

Dritte erweiterte Auflage.

(Mit 42 Holzschnitten und vier lithographirten Tafeln.)

Alle Rechte vorbehalten.

WIEN.

Verlag von Gerold & Comp.

1880.

[Untitled Introduction]

Eingehende analytisch - geomtrische Studien über die verschiederen Massverhältnisse, welcher speciell eien dreifach ausgedehnae Grösse1) fähig ist, haben mich vor zwei Jahren zur Kenntniss verschiedener überraschender Thatsachen geführt, welche sich von jedem Gebildeten leicht experimentell controliren lassen, während meine dis bezüglichen theoretisch'en Untersuchungen vorläufig wohl nur für Mathematiker Anziehungskraft besitzen dürften, die auf dem gleichen oder auf verwandten Gebieten selbst als Forscher thätig sind.

Ich habe mich deshalb ursprünglich damit begnügt jene einfachen geometrischen Experimetente zu veröffentlichen, welch, wie beispielsweise die Herstellung eiens Knotens in einem ringförmig geschlossenes Bande, ein allgemeineres Interesse verdienen. Jetzt, nachdem die erste und zweite starke Auflage meiner Brochure binnen Jahresfrist vergriffen worden ist, helte ich es für angezeigt, in die vorliegende Auflage derselben auch einige elementare theoretische Betrachtungen aufzunehmen, welche die Möglichkeit bieten, die Bedingungen der Knotenbildung in einem ringförmig geschlossenes Bande und einem Ringe unter Voraussetzung einer vierfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit analytisch zu untersuchen. Da nämlich speciell die Hypothese des »vierdimensionalen Raumes« und de mit ihr in Verbindung gebrachten spiritulischen Knotenexperimente2) gegenwärtig wieder sehr lebhaft discutirt werden, dürfte es manchem Leser wünschenswert erscheinen, sich

Page 2

über die erwähnten mathematischen Fragen ein selbstständiges Urtheil auf wissenschschaftlicher Grundlage zu bilden. In Hinblick hierauf habe ich der vorleigenden Arbeit auch eine grössere Zahl von Citaten3) beigegben, als dies sonst bei einer populären Schrift von geringem Umfange üblich ist.

§ 1

Um zunächst die hier mitzuteilenden geometrischen Experimente eindeutig beschreiben zu können1) genügt es, die Hilfsbegriffe: "Positive beziehungsweise negative Drehung um 1 x 180°, 2 x 180°, 3 x 180° etc." einzuführen, welche sich ohne Schwierigkeit in gemeinfasslicher Weise erläutern lassen.

Man verwendet hierzu am besten einen rechteckigen Papierstreifen, in dessen Ecken auf seiner

[Fig. 1, a rectangular paper strip]

oberen und unteren Fläche beispielsweise nach dem Muster der schematischen Figur 1 die Ziffern 1, 2, 3, 4

[Fig. 2, a paper ring]

geschrieben werden mögen, wobei jede Ecke beiderseits mit derselben Ziffer zu versehen ist Biegt man hierauf die beiden Enden des Streifens in der durch die schematische Figur 2 versinnlichten Art gegen einander und verdreht dessen rechtseitiges Ende so lange, bis die Ecken (1) und (4), (2) und (3) zum ersten Male nebeneinander zu liegen kommen, so hat man eine Drehung

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um 1 x 180° ausgeführt Ich nenne dieselbe positiv (+), wenn sie im Sinne des Pfeiles (p), negativ (-), wenn sie im entgegengesetzten Sinne vorgenommen worden ist. Durch Verdoppelung, Verdreifachung etc. der eben charakterisirten Drehung lässt sich analog eine Verdrehung des rechtseitigen Endes um 2 x 180°, 3 x 180° etc. erzeugen; sie wird als positiv oder negativ zu bezeichnen sein, je nachdem sie aus einer Verdoppelung, Verdreifachung etc. einer positiven oder einer negativen Drehung um 1 x 180° hervorgegangen ist.

Die Vereinigung beider Enden des Streifens 4) liefert natürlich stets einen ringförmig geschlossenen, knotenfreien Streifen, dessen Gesammttorsion (T) mit jener des rectitseitigen Endes des ungeschlossenen Streifens übereinstimmt. Handelt es sich also umgekehrt um den Nachweis einer bestimmten Gesammttorsion in einem ringförmig geschlossenen knoten freien Streifen, so verwandele man denselben mittelst eines, seine ganze Breite durchsetzenden Querschnittes in einen Streifen mit zwei freien Enden und verdrehe dessen rechtzeitiges Ende bei negativem T in positivem, bei positivem T in negativem Sinne um jenes Vielfache von 180°, welches für T angegeben wurde. War die betreffende Angabe richtig, so müssen nach Vollendung dieser Operation sämmtliche Torsionen aus dem Streifen verschwunden sein. Ebenso einfach gestaltet sich die Prüfung der Gesammttorsion eines ringförmig geschlossenen Streifens, falls derselbe einen Knoten von dem Habitus der schematischen Figuren 14, 15, 28, 29, 32, 33 besitzt. Schneidet man nämlich den Streifen unmittelbar neben den Umschlingungen des Knotens quer durch und zieht jenen Theil des Streifens, welcher die Umschlingungen trägt, ohne Drehung aus den letzteren heraus, so hat man den vorgelegten Streifen ohne Aenderung seiner

Page 4

Gesammttorsion in einen knotenlosen Streifen mit zwei freien Enden transformirt, dessen Gesammtverdrehung wieder in der zuvor beschriebenen Weise controlirt werden kann.

Dies vorausgeschickt, wollen wir in erster Linie jene Flächen, welche aus einem ringförmig geschlossenen knotenfreien Streifen durch Ausführung des in seiner Mittellinie in sich selbst zurücklaufenden Längsschnittes bei einer ursprünglichen Gesammtverdrehung (T) = ± 1 x 180°, ± 2 x 180°, ± 3 x 180° etc. entstehen, kurz charakterisiren und uns hierbei, um eine Verallgemeinerung der gewonnenen Einzelresultate zu erleichtern, folgender schematischer Darstellungsweise bedienen:

I. T = ± 1 x 180°: Es entsteht ein einziger ringförmig geschlossener Streifen, dessen Gesammtverdrehung mit jener des ursprünglichen Streifens gleichsinnig ist und ihrem absoluten Werthe nach 4 x 180° beträgt. — Um sich dieses Ergebniss auf graphischem Wege verständlich zu machen, gehe man von der Thatsache aus, dass die Grenzen des gegebenen Streifens infolge der Vereinigung der Ecken (1) und (4), (2) und (3) eine einzige geschlossene Curve bilden, deren Verlauf sich für T = + 1 x 180° durch Figur 3, für T = + 1 x 180° durch Figur 5 schematisch veranschaulichen lässt Da nun der in der Mittellinie des Streifens geführte Längsschnitt dessen Ränder natürlich nirgends treffen kann und nach einem einzigen Umlaufe in sich selbst zurückkehrt, erhält man in beiden Fällen einen einzigen ringförmig geschlossenen Streifen, dessen Grenzen durch die Randcurve des ursprünglichen Streifens und die Schnittlinie gebildet werden. Vor Ausführung des Schnittes besitzt jede der beiden Hälften des Streifens eine Torsion um 180°, indem jedoch

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dessen ursprüngliche Randcurve nach Vollendung des Schnittes im ersten Falle nach dem Muster von Figur 4, im zweiten nach jenem von Figur 6 aufklappt, und hierdurch die Beseitigung der jetzt zwischen den beiden Hälften des Streifens vorhandenen Ueberkreuzung möglich wird, treten zu den erwähnten zwei Torsionen

[Figs. 3-6]

um je 180° infolge des letzteren Processes zwei weitere gleichsinnige Torsionen um je 180° hinzu, so dass der absolute Betrag der Gesammtverdrehung im neu erzeugten Streifen in beiden Fällen auf 4 x 180° steigt.

An die hier gegebene elementare Erläuterung des ersten und zweiten Experimentes knüpft sich ausserdem noch eine theoretische Folgerung, welche speciell für die Beurtheilung der jeweiligen Gesammtverdrehung eines geschlossenen mit einem Knoten versehenen Streifens von Bedeutung ist. Da sich nämlich die Figuren 4 und 6 lediglich durch die zwischen ihren Hälften auftreteuden Ueberkreuzungen7 unterscheiden, so bildet eine Ueberkreuzung zweier Theile eines und desselben

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geschlossenen Streifens gemäss unseren letzten Bemerkungen das charakteristische Aequivalent für eine Torsion um + 2 x 180° resp.- 2 x 180°, je nachdem sie mit der als positiv zu bezeichnenden Ueberkreuzung in Figur 4 oder mit der negativen Ueberkreuzung in Figur 6 gleichsinnig ist. Es kann daher auch umgekehrt eine Torsion um + 2 x 180° als positive Ueberkreuzung, eine solche um - 2 x 180° als negative Ueberkreuzung zweier Streifentheile auftreten, welcher Satz sich u. A. durch Flachdrücken eines um + 2 x 180° respective um - 2 x 180° verdrehten, ringförmig geschlossenen Streifens besonders anschaulich controliren lässt.

II. T = ± 2 x 180°: Man erhält zwei ringförmig geschlossene Streifen in derartiger Verbindung, dass jeder von beiden auf einem unverdrehten Theile des anderen Streifens einmal aufgehangen werden kann (Fig. 8, 9). Hierbei lässt sich die Aufhängung sowohl

[Figs. 7–8]

für T = + 2 x 180° als auch für T = - 2 x 180° entweder im Sinne der schematischen Figur 7 oder im entgegengesetzten Sinne (Fig. 9) vornehmen; es erscheint übrigens in Hinblick auf die weiteren Experimente geboten, speciell die erste Aufhängung der Verdrehung um + 2 x 180°, hingegen jene im Sinne der Figur 8 der Verdrehung um - 2 x 180° zuzuordnen. Jeder der beiden Streifen zeigt dieselbe Gesammtverdrehung wie der ursprüngliche Streifen und kann

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von dem anderen erst nach einem, dessen ganze Breite durchsetzenden Querschnitte isolirt werden. — Um sich dieses Ergebniss auf graphischem Wege verständlich zu machen, gehe man von der Thatsache aus, dass die Grenzen des gegebenen Streifens hier infolge der Vereinigung der Ecken (1) und (3), (2) und (4) durch zwei geschlossene Curven gebildet werden, deren Verlauf sich für T = + 2 x 180° durch Figur 9, für T = - 2 x 180° durch Figur 11 schematisch veranschaulichen lässt.

[Figs 9-12]

Es theilt daher die Mittellinie des Streifens denselben stets in zwei Hälften, deren äussere Ränder (m) und (n) keinen einzigen gemeinsamen Punkt besitzen, so dass der in dieser Mittellinie in sich selbst zurückkehrende Längsschnitt in beiden Fällen je zwei geschlossene Streifen liefern muss, deren Gesamnitverdrehungen mit jenen übereinstimmen, welche die Hälften des ursprünglichen Streifens besassen, d. h. im ersten Falle je + 2 x 180°, im zweiten je - 2 x 180° betragen. Da ferner die Grenzcurven (m) und (n), sobald sie infolge der Vollendung des erwähnten Schnittes

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nicht mehr einem einzigen Streifen angehören, augenscheinlich stets die durch die Figuren 11 und 13 charakterisirten Lagen einnehmen können, lassen sich auch die diesen Grenzcurven zugehörigen Hälften des ursprünglichen Streifens in dieselben Lagen bringen, womit speciell die einmalige Aufhängung des einen Streifens auf dem anderen ihre Erklärung gefunden hat.

III. T = ± 3 x 180°: Es entsteht ein einziger ringförmig geschlossener Streifen mit einem längs desselben verschiebbaren Knoten9), welcher sich auf gewöhnlichem Wege dadurch construiren lässt, dass man die rechtseitige Hälfte eines ungeschlossenen Streifens einmal um die linkseitige windet und dessen rechtseitiges Ende durch die anfänglich gebildete Schlinge hindurchzieht (Fig. 13, 14). Hiebei erfolgt die Knotenbildung

[Figs. 13–14]

speciell für T = + 3 x 180° im Sinne der schematischen Figur 14, hingegen für T = - 3 x 180° in jenem von Figur 15, ohne dass eine Transformation des ersten Knotens in den zweiten oder umgekehrt möglich ist. — Um dieses interessante Ergebniss graphisch zu erklären, stütze man sich auf die Thatsache, dass die Grenzen des gegebenen Streifens hier ebenso wie für T = ± 1 x 180° eine einzige geschlossene Curve bilden, deren Verlauf für T = + 3 x 180° durch Figur 15, für T = - 3 x 180° durch Figur 17 schematisch darstellbar ist10). Es entsteht mithin durch Ausführung des

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in der Mittellinie des Streifens in sich selbst zurückkehrenden Längsschnittes aus denselben Gründen, wie bei einem ringförmig geschlosseneneinmal verdrehten Bande in beiden Fällen ein

einziger ringförmig geschlossener Streifen.

[Figs. 15–19]

Indem ferner die Randcurve des ursprünglichen Streifens nach Vollendung des Schnittes im ersten Falle nach dem Muster von Figur 16, im zweiten nach jenem von Figur 18 aufklappt, verschlingen sich nunmehr die beiden Hälften des Streifens augenscheinlich conform mit dessen ursprünglicher Randcurve, so dass der Sinn, in welchem die Knotenbildung vor sich geht, bereits durch den Verlauf dieser Randcurve bestimmt wird. Drückt man endlich den neu erzeugten Streifen für T = + 3 x 180° nach dem Vorbilde von Figur 19, für T = - 3 x 180° nach jenem von Figur 20 flach, so zeigen sich im ersten Falle neben sechs positiven Torsionen um je 180° zwei positive und eine negative Ueberkreuzung, im zweiten Falle ausser sechs negativen Torsionen um je 180° zwei negative und eine positive Ueberkreuzung, d. h. es beträgt die Gesammtverdrehung

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des neu erzeugten Streifens zufolge der früher constatirten Aequivalenz der Ueberkreuzungen mit Torsionen um ± 2 x 180° im ersten Falle: (6 + 4 - 2) x 180° = - 8 x 180°,

welche Angaben sich nach der auf p. 3 gegebenen Anleitung auch direct controliren lassen.

IV. T = + 4 x 180°: Man erhält zwei ringförmig geschlossene Streifen in derartiger Verbindung, dass jeder von beiden auf einem unverdrehten Theile des anderen Streifens zweimal aufgehangen werden kann (Fig. 21, 22). Hiebei erfolgen die Aufhängungen speciell

[Figs. 21–22]

für T = + 4 x 180° im Sinne der schematischen Figur 21, hingegen für T = - 4 x 180° in jenem von Figur 22, ohne dass eine Transformation der ersten Aufhängungsweise in die zweite oder umgekehrt möglich ist. Jeder der beiden Streifen zeigt dieselbe Gesammtverdrehung wie der ursprüngliche Streifen und kann von dem anderen erst nach einem, dessen ganze

ARBITRARY END

As the text essentially continues in the same (to me at least) incomprehensible vein over the next 28 pages, which will likely serve no practical purpose in translation, I have decided to cease those, and instead continue with pages more relevant (or would appear to be) to the Möbius strip and/or Simony.

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§ 5. Herrn Simony's neuere Erzeugungsweise topologischer Gebilde und Herrn Schuster'a topologisohe Badwelle.

Wir hatten bisher angenommen, dass die einzelnen Streifen einer aus beliebig vielen Streifen zusammengesetzten Fläche insgesammt von einem und demselben Punkte oder von einer kreisförmigen Basis (vgl. Fig. 22, Taf. III) ausgehen und in einem anderen Punkte oder einem anderen kreisförmigen Flächenstücke wieder zusammenlaufen. Für die Gestalt der durch den Mittelschnitt erzeugten Gebilde ist es nun offenbar ganz nebensächlich, ob jene Fläcbenstücke kreisförmig sind oder nicht. Statt die Bänder zweier Kreisflächen zu verbinden, können die einzelnen Streifen auch zwei beliebige gerade oder krumme Linien mit einander verbinden, ja sie können auch sämmtlich in eine und dieselbe Ebene niedergelegt werden. Im letzteren Falle ergibt sich eine Erzeugungsweise, die mir Herr Simony mittheilte. Wir würden hiernach beim Vorhandensein von drei, resp. vier Streifen etwa solche Flächen erhalten, wie durch die Figuren 36, resp. 37 (Taf. V) dargestellt werden, falls alle Streifen noch frei von Torsionen sind. Will man die Streifen tordiren, so schneide man dieselben an den schraffirten Stellen quer durch, drehe die rechts befindlichen Theile bei positiver Torsion im Sinne des Pfeiles p, bei negativer Torsion im entgegengesetzten Sinne und vereinige dann wieder beide Streifentheile. Die punktirte Linie möge den Mittelschnitt andeuten.

Die betreffenden Flächen kann man sich leicht in folgender Weise herstellen: Man lege ein Papierquadrat (Fig. 38) längs seiner Mittelsenkrechten aa' und bV zusammen, wie Fig. 39 zeigt, und schneide die schraffirten Stücke weg. Es entfaltet sich alsdann Fig. 39 zu Fig. 36 und stellt eine geschlossene, ebene, aus drei Streifen gebildete Fläche dar. Will man eine Fläche mit vier Streifen herstellen, so sind schraffirte Stücke wegzuschneiden, wie Fig. 40 zeigt, und analog ist weiter zu schreiten, wenn man Flächen mit einer noch grösseren Anzahl Streifen erhalten will.

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Wie Herr Schuster gezeigt hat, lassen sich alle Gebilde, welche dem Mittelschnitte einer aus beliebig vielen tordirten Streifen hergestellten geschlossenen Fläche entspringen, auch mit Hilfe der von ihm erfundenen "topologischen Radwelle" erzeugen.1)

Ich muss dies der Vollständigkeit halber besonders erwähnen und füge noch hinzu, dass mir der genannte Apparat bei meinen Untersuchungen vorzügliche Dienste geleistet hat.

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1) Näheres hierüber findet man in der bereits mehrfach citirten Arbeit von Herrn Schuster, 8. 244 ff.

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